Taihem

Люди тут общаются достаточно неформально, поэтому я решила что они на «ты». В тексте много отсылок к теориям, именам, а также фактам массовой культуры, я старалась везде снабжать это ссылками, в скобках.


Бесконечная Клетка с Обезьянами.
Числа, числа, числа.

Ведущие: Робин Инс (Р.И.), Брайан Кокс (Б.К.)

Гости программы:
Дэйв Горман (Д.Г.) (комик, не закончивший математический университет),


Алекс Беллос (А.Б.) (любитель математики и автор книг),



Вики Нил (В.Н.) (математик, специальность теория чисел).





Р.И. Добрый день, я Робин Инс
Б.К. – и я Брайан кокс
Р.И. – вы слушаете подкаст BBC «Бесконечная обезьянья клетка», куда вошли дополнительные материалы, которые посчитали недостаточно хорошими для радио. Наслаждайтесь!

Б.К. Добро пожаловать в e в степени i плюс 11 серию Бесконечной Обезьяньей клетки. Я Брайан Кокс, и люди которые рядом со мной, совершенно не представляют, что я только что сказал.
Р.И. – Я Робин Инс, и он прав, я совершенно не понял что он сказал, но надеюсь что к концу сегодняшнего шоу, посвященного математике, вы все поймете, что тут происходит. Итак, сегодня мы говорим о числах: являются ли они человеческим изобретением, или они настолько фундаментальны, что наше поведение является неосознанной на них реакцией.
Б.К. – Является ли вселенная глубоко математической в своей основе, или математика это просто лучший язык, который у нас есть для описания реальности.
Р.И. – Итак, чтобы выяснить что в числах что-то большее чем видно на первый взгляд…
Б.К. – i! (игра слов, eye – глаз, и I – комплексное число, произносятся совершенно одинаково). Квадратный корень из -1, i! Это игра слов!
Р.И. – а, здорово. Первая минута, а у нас уже есть игра слов. Не знаю, как мы продержимся еще десять эпизодов. Я предоставляю слово нашим панелистам, пусть они представятся сами.

В.Н. Привет, я Вики Нил, старший научный сотрудник отделения математики и математической статистики в университете Кэмбриджа, стипендиат колледжа МариаБутц. К сожалению, я не приехала сегодня на такси с номером 1729, но надеюсь, это не плохой знак.
А.Б. Я Алекс Беллос, автор книги «Алекс в Зазеркалье: как жизнь отражает числа и наоборот». Я выбрал число 224, наименьшее целое число, у которого нет своей странички на Википедии. Оно такое скучное, что уже даже интересное.
Д.Г. Меня зовут Дэйв Горман, я не закончил университет, и значимое число для меня – это два. Просто потому, что я близнец, и все мое детство мне задавали вопрос – «ой, вы близнецы, ну и как оно, иметь брата-блинеца?» а я все детство отвечал – «не знаю, мне не с чем сравнить».
Р.И. И это наши гости сегодня!

Б.К. Вики, я думаю что мы должны начать с простого. Это шоу о математике, так что… что такое число?
В.Н. Ну, если мы воспользуемся z-f моделью из теории множеств…(я так понимаю, речь идет вот об этом en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_... ). Вы берете пустое множество, в котором ничего нет, потом идет множество в котором находится это первое множество, и это множество уже не пустое, потому что у него внутри есть пустое множество, и так строите дальше и дальше. Из этого выводится вся теория чисел.
Р.И. Ну это прямо Эббот и Костелло! (комедийный сериал ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B1%D0%B1%D0%BE%...) Ну что, Брайан – ты еще что-то хочешь? Я думаю, «больше» будет проще.
Б.К. Ну тут следует естественный вопрос, почему не описать их просто как один, два, три, зачем это усложнение?
В.Н. (с вызовом) проблема в том, что я не знаю что ты подразумеваешь под «два». Нам надо сначала договориться, что это такое.
Б.К. (робко) Дэээйв?
Р.И. Ничего себе напор, прямо вестерн!
В.Н. Ну это довольно важная вещь, мне это не все равно, что такое «два».
Д.Г. А мне не все равно, что такое «множество». (пауза, аплодисменты)
В.Н. (с вызовом) Да?
Д.Г. И ты начала рассказывать про числа с множеств, так давай определим что такое множество.
В.Н. Да, современная математика будет разворачиваться прямо перед глазами.
Д.Г. Так что теперь твое объяснение надо начать сначала, заменив «множество» на «некий вид набора штук»
В.Н. Ну это не очень звучит, математики же не называют эту теорию «теория некого набора штук».
Д.Г. Ну может быть, тут математики и ошибаются, усложняя все, ведь по сути это изучение штук в которых есть другие штуки и все, и иногда штук больше а иногда меньше…
В.Н. Но это очень определенные штуки.
Д.Г. Точные штуки, хорошо. Точные штуки которые что-то делают с другими точными штуками, это биология, потом есть более широкие штуки, и далее психология, когда у нас все покрыто этим самым…
Р.И. Ну мы по-моему вообще все рассмотрели, нам не нужны больше никакие серии.
А.Б. Может быть, нам не нужно знать, чем это является, а нужно знать, что оно делает? Вы смотрите вдаль, и чем ближе к вам что-то, тем сложнее, детальнее оно становится. Теория множеств как раз пытается подобраться ближе и ближе, а мы хотим начать немного подальше, потому что нам просто надо использовать числа для того чтобы решать какие-то задачи.
Б.К. Да, математика пытается сделать очень простые вещи – очень сложными
Д.Г. пытается? (все ржут)
Р.И. Хорошо что наш продюсер сказал что мы можем отклоняться от темы в первые три минуты
Б.К. Давай определим что такое отклонение… (в оригинале tangent – отклонение, а также касательная) (смех, аплодисменты)

Р.И. Дэйв, ты начал изучать математику…И мы говорили, что многие люди довольно рано в школе понимают, что математика это не для них, что у них нет математического склада ума. И мне интересно – почему ты не закончил свой курс, что там заставило споткнуться.
Д.Г. Ну, я поступил в университет потому, что это был самый простой способ уйти из дома.
Б.К. Ты поступил, думая о том, что хочешь быть математиком? Что там тебя заинтересовало?
Д.Г. Я могу вам сказать, в какой момент я понял, что это то чего я хочу. И все дело было в хорошем учителе. Я был в старших классах, учитель дал сложную задачу, и три варианта ответа. Никто не мог понять то, что написано на доске. А я понимал только то, что ответ должен быть четным. Среди вариантов ответа было два четных числа и одно нечетное. Один парень поднял руку, и сказал – 36. Учитель сказал нет. Тогда я поднял руку, сказал что это 12. Учитель сказал – да, очень хорошо, очень хорошо, как ты это понял? И я честно ответил – ну, ответ должен быть четным, это либо 36 либо 12, и вы только что сказали Симпсону что это не 36. Значит, 12. И вместо того чтобы отругать меня за нечестную игру, он сказал – прекрасно, именно так думает математик! Никогда не делай больше работы чем необходимо! (аплодисменты)
И математика именно об этом, она помогает находить простые решения, кратчайшие пути, правила которые работают в любых ситуациях, а не каждый раз начинать все заново. Мне это очень понравилось, и я поэтому подал документы в университет. Но там началась тяжелая работа, и математика потеряла свое очарование.
Б.К. В математике есть определенная игривость…
В.Н. Я думаю, что одна из причин, по которой люди перестают этим заниматься – это то, что им не позволяют играть с математикой. А я думаю, что играть с математическими идеями – это и значит заниматься математикой. Математика – это не однообразное решение квадратных уравнений или дифференцирование, ты играешь и смотришь что получится. И чем дольше людям позволяют это делать в школе, тем дольше они занимаются настоящей математикой. Я думаю что все люди могут мыслить математически, просто они теряют это из виду, потому что их заставляют решать квадратные уравнения.

Б.К. Когда ты представлялась, ты упомянула номер такси, кстати, - что это за число?
В.Н. Да, 1729. История такая, это произошло в 20 или 30 годы. Великий кембриджский математик, Харди (ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%B4%... ), навещал в больнице своего коллегу, индийского математика Рамануджана (ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B8%D0%BD%... ). Он был гением, который обучался сам, и добился приглашения в Кембридж тем, что послал Харди свою рукопись с фантастическими вычислениями и доказательствами, некоторые из них были известны математике, некоторые нет, он считал что некоторые были ему даны во сне богиней… Он серьезно заболел, и Харди навещал его в больнице. Он не очень умел вести светскую беседу, поэтому решил начать с математики, он сказал – Я приехал на такси с номером 1729, надеюсь что это не плохое предзнаменование, потому что число больно скучное. На что Раманаджар, как рассказывают, ответил быстро как молния - нет, что вы, это очень интересное число! Это самое меньшее число которое можно записать в виде суммы двух кубов, причем двумя разными способами!( ru.wikipedia.org/wiki/1729_%28%D1%87%D0%B8%D1%8... ) У него было какое-то понимание чисел вообще, интуитивное чувство.


Б.К. Алекс, в своей книге ты подчеркиваешь, что у людей есть определенное чувство по отношению к цифрам, у них есть любимые числа, есть какие-то суеверия…
А.Б. Да. Если мы не рассматриваем теорию множеств, в основе своей, числа – это количество и порядок. Мы для этого их используем. Очень объективные вещи, у которых нет личности. Но мы люди, и воспринимаем их через призму культуры, через слова, и мы реагируем на них эмоционально. Есть числа, которые люди любят. Самая популярная причина по которой люди предпочитают какое-то число – это число дня рождения. Но если вы родились 30 числа, вы не выберете 30. А вот если вы родились 7-го… Некоторые числа просто кажутся более интересными. И если мы вспомним, какие числа считались наиболее мистическими, значимыми во всей истории, то они все - небольшие простые числа. Это звучит ненаучно. Но подо всем этим есть некое обоснование. Например, семерка. Это самое любимое число во всем мире. Это провеяли экспериментом: задумайте число между 1 и 10. Большинство людей скажут «7», это их любимое число и это число, которое первым приходит на ум. Это связано с арифметическими свойствами семерки. Ну, мы не можем взять 1 или 10, это ощущается неправильно, не можем взять 5, потому что это ровно посередине и очень скучно, все четные числа тоже исключаются… и остается 7. Это число, которое вы не можете умножить или разделить, оставаясь в пределах «10». Так что даже не понимая этого, вы занимаетесь математикой.
В.Н. А что будет если попросить людей выбрать число между 200 и 300? Там они наверное не знают, какие числа простые а какие нет.
А.Б. когда делали такие эксперименты, там где-то в ответах обязательно появляется семерка. Между 1 и 20 выбирают 17. Есть известный трюк, который на самом деле, был потом исследован с помощью эксперимента. «Я знаю о каком числе вы думаете! Это число между 1 и 50. И это число - 37». Большинство людей думают именно об этом числе. Числа рассказывают нам истории. Бренды это тоже используют, например WD40. Был бы этот продукт так же популярен, если бы назывался WD41? Может быть, мы не знаем. Но 40 ощущается лучше.
Мы проводили исследования брендов, и выяснилось что люди с большей вероятностью тратят деньги на товары для дома, если там в названии есть четное число. Один из экспериментов был такой: «что вы предпочтете, шампунь «Цинк 24» или «Цинк 31»?» . Ответ всегда был «Цинк 24».
Р.И. Шампунь ? С названием «Цинк 24»? Да я сразу не куплю из-за слова «Цинк»!
А.Б. Ну там было что-то цинковое…
Р.И. А, это тот случай когда ты говоришь о химии и все думают сразу, что это что-то магическое.
А.Б. Периодическая таблица тут ни при чем, тут важно время. Мы хорошо знакомы с числами, которые обозначают периоды времени, которые часть нашего расписания и мы постоянно говорим эти цифры. А большие простые числа просто проходят мимо нас, мы их как бы не узнаем. Когда мы видим продукт, в названии которого есть число из нашего расписания, из нашего календаря, для нас проще его обработать. Это число просто нам знакомо, но мы думаем, что оно нам нравится.


Б.К. Мы тут говори уже не раз о простых числах. Вики, ты можешь нас кратко ввести в эту тему?
В.Н. Да, они очень важны в математике. Отчасти потому, что они сами по себе интересны, про них можно задавать простые вопросы, на которые очень сложно ответить. Но также они – строительный материал из которого сделаны все остальные числа. Вы можете взять любое число и записать его как продукт целых чисел, например, 24 это два на два на три. Но вы не только можете это сделать, - существует только один способ это сделать. Для любого числа есть только одно разложение на простые множители. Это называется фундаментальной теоремой арифметики. Если вы понимаете простые числа, вы понимаете основы.
Б.К. И у них длинная история, как вы сказали. Вот у Евклида было известное доказательство того, что простых чисел бесконечное множество, и это очень простое и красивое доказательство.
В.Н. Да, там было так. Евклид сказал – давайте проведем мысленный эксперимент. Он владел греческим и языком геометрии, так что был своего рода билингвой… Мы полагаем, что простых чисел бесконечно много. Давайте представим, что есть какая-то параллельная вселенная – Брайан это явно понимает лучше меня -, в которой количество простых чисел конечно, и вы можете составить их список. И вот вы все их написали, потом перемножили между собой, получили какое-то непонятное число, и к нему – в этом гений Евклида – прибавим к этому единицу. Так что у нас есть какое-то невероятно огромное число, и оно должно быть разложимо на простые множители. Либо оно само простое число, либо раскладывается на них. Делится ли это число на два? Нет, потому что двойка была в списке множителей, и мое число – это дважды что-то плюс один. Может ли оно делиться на три? Нет, потому что тройка тоже была в моем списке множителей, и это число – трижды что-то плюс один. Делится ли оно на любое число из списка? Нет, но в то же время у него должен быть способ разложения на простые множители. Тут Евклид наверное, немного приболел, потому что это противоречие. Евклид заключил, что такая ужасная параллельная вселенная не может существовать, в следовательно, существует бесконечное количество простых чисел.
Б.К. Прекрасно. Аплодисменты Евклиду.

Б.К. До сих пор существует много теорем, которые еще предстоит доказать, например теорема о парах простых чисел.
В.Н. Это предположение, а не теорема – математики все не очень удачно называют. Оно говорит о том, что существует бесконечно много простых чисел, различающихся на 2. Например, 11 и 13, 41 и 43, 107 и 109. Так что мы знаем, что вообще простых чисел бесконечно много, Евклид доказал это две тысячи лет назад, так что, тяжело что ли, доказать что бесконечно много простых чисел чья разность равна 2? Ну, пока этого никто не сделал. (Wikipedia)
Р.И. А в чем тут практический смысл?
В.Н. О, как я рада что вы задали этот вопрос! Во-первых, это дает приращение знания. Есть ли практическое применение тому, что, допустим, существует бесконечно много простых чисел-близнецов? Никто не знает, но не в этом дело. Работая над этим, люди не думают что откроют лекарство от рака или изменят мир. Это настолько простой вопрос. Который так легко задать, это естественным образом вызывает любопытство. Это с одной стороны. С другой стороны. У простых чисел есть практическое применение. Например, когда вы совершаете покупки онлайн, вы не хотите, чтобы кто-то другой имел доступ к информации о вашей кредитной карте. И криптографический метод, который защищает эту информацию, основан на теории чисел, на фундаментальных свойствах простых чисел. Эти методы восходят к Ферма, который работал в 17 веке, и Эйлеру, который работал позже. И они занимались этой проблемой вовсе не для того, чтобы защитить информацию о вашей кредитной карте, когда вы совершаете покупки онлайн, они просто думали что это ужасно интересно. Ферма, кстати, даже не был математиком, он был адвокатом. И занимался математикой в свободное время. И триста лет спустя люди нашли этому практическое применение. Так что я тоже занимаюсь этим потому, что это интересно, и кто знает какое применение этим знаниям найдется через 50 или 300 лет. Может, и не найдется, но мы будем понимать больше.
А.Б. … Так что зачем спешить с практическим применением? Тому есть много примеров, когда что-то открывалось и только спустя десятилетия, если не века, находило свое применение. Аполлоний из Тианы, автор «Конических сечений», указывал, что занимается этим только из-за удовольствия, из-за того как это красиво. Но если бы не его конические сечения, Кеплер бы не понял, что планеты вращаются по эллиптической орбите, и Галилей бы не открыл, что выпущенный снаряд падает по параболе. Две тысячи лет!

Б.К. Мы упоминали комплексные числа раньше, они совершенно необходимы для квантовой теории, без них очень тяжело ею заниматься. Давайте немного разберемся, что это такое.

А.Б. Во-первых, разберемся что такое мнимые числа. Это квадратный корень из отрицательного числа. А i это квадратный корень из -1. комплексное число состоит из двух частей: обычного числа и числа кратного i. Что делает эти числа такими интересными… Ну вот например отрицательные числа (в Европе появились в 13 веке), и мы понимаем их сейчас, потому что мы понимаем что такое числовая прямая, в одном направлении она положительна а в другом отрицательная. То, как мы можем понять комплексные числа – это представить себе числовую плоскость (кстати, эта идея дивно рассмотрена в фильме dimensions. Фильм французский, но с русским переводом - www.youtube.com/watch?v=b3adw5igSzI и далее). Комплексные числа дают отличный математический язык для объяснения вращений, и я конечно, не физик, но мне кажется что это именно то, что использует квантовая механика: волны и вращения.

Р.И. Меня вот что беспокоит: в какой-то момент истории никто не умел обращаться с отрицательными числами. А потом кто-то и придумал, и это дало нам концепцию задолженности. Я беспокоюсь, не будет ли у нас новой концепции «долга» с появлением комплексных чисел
А.Б. вообще-то все было наоборот. Отрицательные числа не изобретали, потому что им не было применения. У греков не было отрицательных чисел, потому что их математика базировалась на геометрии, на визуальном. Это индусы задумались о том, что нужно как-то говорить о долгах и имуществе. Математик Брахмагупта (7 век н.э.) написал работу о числах, говоря о них в терминах «долга» и «актива».
Р.И. Да, я не хочу быть кому-то должным 3i.
Б.К. Математика развивается из-за воображения, из-за того что нам это интересно, пусть эти вещи и нереальны: отрицательные числа, комплексные числа. А позже это находит применение, иногда много веков спустя. Математика уже есть, ее просто еще нужно открыть. Платон говорил, что математика – это то, что мы открываем, а не то, что мы изобретаем.


Р.И. можете ли вы себе представить развитую цивилизацию, у которой нет чисел и математики?
Д.Г. Нет. Есть такие группы людей, у которых очень базовые понятия о числе – один, два, три и «много». Но для любой сложной цивилизации математика и числа необходима.
А.Б. Я думаю, что все развитие науки происходит из математики, с самого начала. Сами по себе числа – это прорыв, а потом появляется концепция нуля, система чисел, с которой уже можно заниматься наукой, отрицательные числа… Любой развитой цивилизации необходима математика. Может быть, у них другая система, может у них 4 пальца, а не 5, поэтому они считают в восьмеричной системе, но это та же математика.

Все права принадлежат BBC
Перевод: Stormglass



@темы: comfortable with the unknown